מתמטיקה 5 יח"ל לחטיבה עליונה מתמטיקה 5 יח"ל לחטיבה עליונה ידע ידע לאור תוכנית הלימודים (בכל שלוש שנות הלימוד) א. אלגברה משוואות מסוגים שונים משוואות ממעלה ראשונה ושנייה מערכת משוואות: שתי המשוואות ממעלה ראשונה, מערכת משוואות מהמעלה השנייה לכל היותר מערכת משוואות ליניאריות עם שני משתנים ופרמטר אחד הקשר בין ערכי הפרמטר לבין מספר הפתרונות (פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון) המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות משוואות הנפתרות על ידי הצבה (כמו משוואה דו-ריבועית) משוואות אי-רציונאליות אי שוויוניות שוויונות עם ערך מוחלט אחד, כגון . פירוק לגורמים אי-שוויונות ממעלה ראשונה ואי שוויונות ממעלה שנייה בלי פרמטר אי שוויונות ממעלה שנייה עם פרמטר לצורך שימוש בחדו"א. אי-שוויונות רציונאליים ללא פרמטרים אי שוויונות ליניאריים בערך מוחלט עם ביטוי ליניארי ומספר ממשי המביעים את מושג המרחק חזקות: חוקי החזקות. חזקה עם מעריך שלם שורשים: מכפלת שורשים ומנתם, הכנסת גורם מתחת לשורש, הוצאת גורם מתוך השורש, ביטול שורש במכנה סדרות סדרה חשבונית (כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה) – איבר כללי, סכום, מעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה ולהיפך סדרה הנדסית סופית ואינסופית (כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה) – איבר כללי, סכום, מעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה ולהיפך סדרות כלליות לפי מקום ולפי נוסחת נסיגה, מבלי שיידרש המעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה או להיפך שאלות מילוליות שאלות תנועה, שאלות הספק ועבודה חוקי החזקות: כל חוקי החזקות שנלמדו בעבר וגם חזקה עם מעריך רציונאלי שורשים: הכנסת גורם מתחת לשורש, הוצאת גורם מתוך השורש, ביטול שורש במכנה תכונות של אי שוויוניות פונקציות מעריכיות: תכונותיהן ותיאורן הגרפי משוואות מעריכיות, על פי הנדרש ביישומים של חדו"א או בבעיות גדילה ודעיכה אי-שוויונות מעריכיים או מובילים על ידי הצבה לכל היותר לאי-שוויון ריבועי לוגריתם בבסיס כלשהו, לוגריתם של מכפלה, מנה, חזקה ושורש. מעבר לוגריתם מבסיס לבסיס. הפונקציות הלוגריתמיות: תכונותיהן ותיאורן הגרפי. משוואות לוגריתמיות, על פי הנדרש ביישומים של חדו"א או בבעיות גדילה ודעיכה ואי-שוויונות לוגריתמיות, על פי הנדרש ביישומים של חדו"א או בבעיות גדילה ודעיכה. בעיות גדילה ודעיכה דיסקרטיות בעיות גדילה ודעיכה הניתנות לתיאור כסדרות גיאומטריות (למשל חישובי ריבית דריבית, ירידת ערך, התרבות וכד') כולל זמן מחצית החיים. חילוק פולינומים בפולינום ליניארי (רק כטכניקה נדרשת, בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) מספרים מרוכבים הגדרת מספרים מרוכבים שוויון המספרים המרוכבים ארבע פעולות חשבון עם המספרים המרוכבים והמשמעויות הגיאומטריות שלהן. ערך מוחלט מספרים צמודים שורש מסדר 2. הצגת המספרים המרוכבים במישור גאוס. משפט דה-מואבר. שורשי יחידה והמשמעויות הגיאומטריות שלהם. שורשים מסדר n. והמשמעויות הגיאומטריות שלהם. שימוש בסדרות ושימוש בזהויות טריגונומטריות לצורך פתרון שאלות במספרים מרוכבים ב. גיאומטריה אנליטית מושגי יסוד בגיאומטריה אנליטית קטעים: חישוב מרחק בין נקודות (אורך קטע) בעזרת משפט פיתגורס, אמצע קטע. ישר מציאת משוואת ישר על פי נקודה עליו ושיפוע נתון, על פי שתי נקודות. חיתוך והקבלה של ישרים. ניצבות הישרים שטחים: חישובי שטחים המורכבים ממלבנים, משולשים וטרפזים. מעגל משוואה קנונית ומשוואת מעגל כללי (x-a)2 + (y-b)2=R2, חיתוך של מעגל וישר, משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (כתנאי ניצבות). חיתוך של שני מעגלים, מעגל המשיק לאחד או שני הצירים. מעגל: התנאי שהמשוואה Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 היא משוואה של מעגל. פרבולה הגדרתה כמקום גיאומטרי, המשוואה הקנונית, מוקד, מדריך ומשוואת המשיק בנקודה על הפרבולה. אליפסה הגדרתה כמקום גיאומטרי, המשוואה הקנונית שלה, ציריה ומוקדיה, המצב ההדדי בין ישר לאליפסה כפי שבאה לידי ביטוי בסימן של הדיסקרימיננטה המתאימה פתרון בעיות המשלבות צורות שונות מבין הצורות שתוארו לעיל. מקומות גיאומטריים ג. אי וודאות הסתברות קלסית אקראיות מרחב הסתברות סופי חוקי ההסתברות הסתברות של מאורע משלים, הסתברות של איחוד מאורעות. הסתברות של חיתוך מאורעות חישובים באמצעות טבלה, דיאגרמת עץ או דיאגרמה אחרת. מאורעות בלתי תלויים, מאורעות תלויים הסתברות מותנית נוסחת בייס מרחב דו-שלבי ותלת-שלבי התפלגות בינומית (נוסחת ברנולי) קומבינטוריקה רק לצורכי ההתפלגות הבינומית הסתברות של מאורע משלים, הסתברות של איחוד מאורעות. הסתברות של חיתוך מאורעות (עד 3 מאורעות בלתי תלויים זה בזה, או עד 2 מאורעות שקיימת ביניהם תלות). חישובים באמצעות טבלה, דיאגרמת עץ או דיאגרמה אחרת ד. גיאומטריה אוקלידית תכונות של צורות מצולעים: חישוב של שטחים והיקפים של מצולעים. חפיפת משולשים על סמך ארבעת משפטי החפיפה משולשים ומרובעים: תכונותיהם, משפטים, הוכחותיהם ויישומם. תיכונים, חוצי זוויות וגבהים. משפטי חפיפה משפט פיתגורס משפט תאלס, המשפט ההפוך לו והמשפטים הנובעים מהם. דמיון משולשים ומצולעים. מפגש התיכונים במשולש, חלוקה פנימית של קטע ביחס נתון משפטי דמיון משפט חוצה זווית פנימית במשולש. שלושת משפטי הדמיון של משולשים היחס במשולשים דומים בין היקפים, תיכונים, חוצי זווית, גבהים ורדיוסי מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים. היחס בין שטחי משולשים דומים. היחס בין היקפים והיחס בין שטחים במצולעים דומים קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית. משפטים: הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים לו. הגובה ליתר הוא ממוצע גיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. הניצב הוא ממוצע גיאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר. קטעים פרופורציוניים במעגל: מיתרים נחתכים במעגל, חותך ומשיק מנקודה חיצונית למעגל, שני חותכים היוצאים מנקודה חיצונית למעגל. מעגל: קשתות, מיתרים, מרחקים ממרכז המעגל. זוויות: היקפיות, מרכזיות ותכונותיהן. משיקים למעגל. שני מעגלים – נחתכים, משיקים מבפנים, משיקים מבחוץ. מרובע חוסם מעגל ומרובע חסום במעגל דמיון משולשים במעגל. מקומות גיאומטריים: האנך האמצעי וחוצה זווית כמקומות גיאומטריים, מפגש אנכים אמצעיים במשולש כמרכז מעגל חוסם, מפגש חוצי זוויות במשולש כמרכז מעגל חסום ה. טריגונומטריה פונקציות טריגונומטריות מחזוריות היקף המעגל ושטחו, אורך קשת ושטח גזרה, שיטות שונות למדידת זוויות מרכזיות במעגל- מעלות, רדיאנים או אורך קשת על מעגל יחידה. הפונקציות סינוס, קוסינוס וטנגנס, במעגל היחידה, ותיאורן הגרפי. הקשר של פונקציית הטנגנס לשיפוע של ישר. הכרת הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות, של זוויות משלימות לזווית ישרה ושל זוויות המשלימות לזווית שטוחה, בעזרת שימוש במעגל היחידה. מחזוריות הפונקציות. הזוגיות או אי-הזוגיות של הפונקציות הטריגונומטריות. תיאור גרפי ופירושו (מחזור, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות מקסימום ומינימום, תחומי חיוביות שליליות, עלייה וירידה), ושל הזזות ומתיחות של פונקציות טריגונומטריות פתרון משוואות בסיסיות, תוך הדגשת משמעות הפתרון במעגל היחידה , מהצורה פתרון כללי ופתרון בתחום נתון. שימוש בטכניקה אלגברית, כגון פירוק לגורמים tanα=tanβ ופתרון משוואה ריבועית) לפתרון משוואות טריגונומטריות זהויות טריגונומטריות משוואות טריגונומטריות שימוש בזהויות לצורך פתרון בעיות במישור ולפתרון משוואות טריגונומטריות (פתרון כללי ופתרון בתחום נתון) בבעיות גיאומטריות, ובמסגרת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי יישום של טריגונומטריה במישור פתרון בעיות במישור: פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית. משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים ושימוש בהם להתרת משולש כללי. נוסחת שטח המשולש . הנדסת המרחב יישומים במרחב הדורשים שימוש במשפטים בגיאומטריה ובזהויות טריגונומטריות. חישובים במרחב של: זוויות, אורכי קטעים, שטחים (כמו מעטפת או שטח פנים), ונפחים בגופים: תיבה (כולל קובייה), מנסרה משולשת ישרה, פירמידה ישרה שבסיסה מלבן או משולש ישר-זווית או משולש חד-זוויות. שימוש בתכונות הגיאומטריות של הצורות והגופים השונים, בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות. בבעיות במרחב יידרש שימוש גם במושגים: ישר ניצב למישור, ישר משופע למישור, זיהוי היטל של משופע על מישור, זווית בין ישרים, זווית בין ישר למישור. לצורך פתרון הבעיות ייתכן שיידרש שימוש של הזהויות שנלמדו בטריגונומטריה למציאת זוויות, פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית, נוסחת שטח המשולש, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים והשימוש בהם להתרת משולש כללי ו. וקטורים וקטורים בגישה גאומטרית וקטורים כחיצים במישור ובמרחב. חיבור וקטורים ותכונותיו, חיסור וקטורים. כפל בסקלר ותכונותיו. קומבינציה ליניארית של וקטורים. חלוקת קטע ביחס נתון. שימושים לחישובים ולהוכחות במישור ובמרחב. המכפלה הסקלרית ותכונותיה. ניצבות בין ישרים ובין ישר למישור. חישובי אורך וחישובי זווית. הוכחות של תכונות גיאומטריות במישור ובמרחב באמצעות וקטורים (ללא הוכחה של משפט גיאומטרי באמצעות וקטורים). מערכת צירים במרחב וקטורים בגישה אלגברית הצגה אלגברית של וקטורים ופעולות אלגבריות בווקטורים (חיבור, חיסור, כפל בסקלר ומכפלה סקלרית). הצגה פרמטרית של ישר במרחב. מצב הדדי של ישרים. הצגה פרמטרית של מישור במרחב, ומשוואה של מישור במרחב. מצב הדדי בין מישורים, ובין ישר ומישור. חישובי מרחקים: בין שתי נקודות, בין נקודה לישר, בין נקודה למישור, בין ישרים מקבילים ובין ישרים מצטלבים, בין ישר למישור, ובין שני מישורים. חישוב זוויות: בין שני ישרים, בין שני מישורים, ובין ישר למישור. משפטים ללא הוכחה: ישר ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא מקבילים במישור. ישר במישור ניצב למשופע למישור אם ורק אם הוא מאונך להיטל המשופע על המישור. כל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה כקומבינציה ליניארית של שני וקטורים בלתי תלויים במישור, וכל קומבינציה כזו נמצאת במישור. כל שלושה וקטורים בלתי תלויים במרחב הם בסיס למרחב. ז. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חשבון דיפרנציאלי משיק בנקודה שיפוע של גרף בנקודה הפונקציה הנגזרת מושג אינטואיטיבי של גבול. חקירת הפונקציות: נקודות חיתוך עם הצירים , עלייה וירידה, זוגיות ואי זוגיות. המשמעות האלגברית והגרפית של f(x) – g(x) ,f(x) > g(x) הנגזרת של . ((f(x) ± g(x))' , (cf(x))' קשר בין גרף הפונקציה לגרף פונקציית הנגזרת שליטה בחשבון דיפרנציאלי של הפונקציות הבאות: פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות , פונקציית שורש ריבועי. נגזרות של פונקציות טריגונומטריות, פונקציות מעריכיות, פונקציות חזקה (עם מעריך רציונאלי) ופונקציות לוגריתמיות - כולל שילוב שלהן עם פונקציות פולינום ופונקציות רציונאליות. נגזרת של סכום, הפרש, מכפלה, מנה, פונקציה מורכבת (שני שלבים בלבד) של כל הפונקציות. פונקציית הערך המוחלט, אי גזירות הפונקציה |X| באפס, וערך מוחלט של פונקציה נתונה (מבין הפונקציות הכלולות בתוכנית). נגזרת שנייה ושימושיה למציאת קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה. נקודות פיתול. שימושי הנגזרת לפתרון בעיות שבהן יש צורך במציאת שיפוע משיק, או מציאת משוואת משיק לגרף, בנקודה שעל גרף הפונקציה לפתרון בעיות קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור בכל סוגי הפונקציות - כולל בעיות נפח, שטח פנים ומעטפת של גופים פשוטים: קובייה, תיבה, מנסרה ישרה שבסיסה משולש, גליל ישר וחרוט ישר, וכולל קיצון בקצה קטע סגור לחקירת פונקציה ושרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. החקירה תכלול: תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון מקומי ומוחלט, נקודות הפיתול, תחומי קעירות. התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה, אסימפטוטות מאונכות לציר בכל סוגי הפונקציות למעט פונקציות פולינום, אסימפטוטות מאונכות לציר y הקשר בין הפונקציות f'(x), f(x) ו- f"(x) . חשבון אינטגרלי מושגים: אינטגרל לא מסוים, פונקציה קדומה, קבוע האינטגרציה, אינטגרלים מידיים אינטגרלים של פונקציות פולינום, פונקציות טריגונומטריות (כולל שימוש בזהויות), פונקציות מנה שניתן להביא אותן לצורה , או (n שלם, ) אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע. אינטגרל של פונקציה מורכבת רק כאשר הפונקציה הפנימית היא ליניארית. חשבון אינטגרלי של פונקציות חזקה (עם מעריך רציונאלי), פונקציות מעריכיות ושל פונקציות אשר הקדומה שלהן היא לוגריתמית. חשבון אינטגרלי של פונקציות חזקה (עם מעריך רציונאלי), פונקציות מעריכיות ושל פונקציות מציאת פונקציה על פי הנגזרת ונקודה על הפונקציה. מציאת אינטגרל של פונקציה רציונאלית עם מכנה ליניארי על ידי חילוק פולינומים. מציאת אינטגרל מהצורה: fw(u).u'dx (u היא פונקציה של X) באמצעות זיהוי הנגזרת החיצונית של פונקציה מורכבת ונגזרתה הפנימית האינטגרל המסוים. חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר x חישוב שטח בין גרפים של שתי פונקציות, חישוב שטחים מורכבים נפח גופי סיבוב סביב ציר x בלבד. בעיות ערך קיצון שבהן יש אינטגרל (מכל הסוגים). לתוכן הדף להדפסה