מתמטיקה 4 יח"ל לחטיבה עליונה מתמטיקה 4 יח"ל לחטיבה עליונה ידע ידע לאור תוכנית הלימודים ב-4 יח"ל (בכל שלוש שנות הלימוד) א. אלגברה משוואות ממעלה ראשונה ושנייה מערכת משוואות: שתי המשוואות ממעלה ראשונה, מערכת משוואות מהמעלה השנייה לכל היותר מערכת משוואות ליניאריות עם שני משתנים ופרמטר אחד הקשר בין ערכי הפרמטר לבין מספר הפתרונות (פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון) המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות משוואות הנפתרות על ידי הצבה (כמו משוואה דו ריבועית) משוואות אי רציונליות פירוק לגורמים אי שוויונות ממעלה ראשונה ואי שוויונות ממעלה שנייה בלי פרמטר אי שוויונות ממעלה שנייה עם פרמטר לצורך שימוש בחדו"א אי שוויונות רציונליים ללא פרמטרים חזקות: חוקי החזקות; חזקה עם מעריך שלם שורשים: מכפלת שורשים ומנתם, הכנסת גורם מתחת לשורש, הוצאת גורם מתוך השורש, ביטול שורש במכנה סדרות סדרה חשבונית (כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה) – איבר כללי, סכום, מעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה ולהיפך סדרה הנדסית סופית ואינסופית (כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה) – איבר כללי, סכום, מעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה ולהיפך סדרות כלליות לפי מקום ולפי נוסחת נסיגה מבלי שיידרש המעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה או להיפך סדרות מעורבות שאלות מילוליות: שאלות תנועה, שאלות קנייה ומכירה, שאלות גיאומטריות: שטחים והיקפים של צורות המורכבות ממלבנים, משולשים וחלקי מעגל )מעגל, חצי מעגל, או רבע מעגל), נפח ושטח פנים של תיבה וגליל ישר ונפח של מנסרה ישרה משולשת חוקי החזקות: כל חוקי החזקות שנלמדו בעבר וגם חזקה עם מעריך רציונלי שורשים: הכנסת גורם מתחת לשורש, הוצאת גורם מתוך השורש, ביטול שורש במכנה פונקציות מעריכיות: תכונותיהן ותיאורן הגרפי משוואות מעריכיות על פי הנדרש ביישומים של חדו"א או בבעיות גדילה ודעיכה אי שוויונות מעריכיים פשוטים או מובילים על ידי הצבה לכל היותר לאי שוויון ריבועי לוגריתם בבסיס כלשהו לוגריתם של מכפלה, מנה, חזקה ושורש מעבר לוגריתם מבסיס לבסיס הפונקציות הלוגריתמיות: תכונותיהן ותיאורן הגרפי משוואות לוגריתמיות על פי הנדרש ביישומים של חדו"א או בבעיות גדילה ודעיכה אי שוויונות פשוטים בעיות גדילה ודעיכה דיסקרטיות: בעיות גדילה ודעיכה הניתנות לתיאור כסדרות גיאומטריות (למשל חישובי ריבית דריבית, ירידת ערך, התרבות וכדומה) ב. גיאומטרייה אנליטית מושגי יסוד בגיאומטרייה אנליטית קטעים: חישוב מרחק בין נקודות (אורך קטע) בעזרת משפט פיתגורס, אמצע קטע ישר: מציאת משוואת ישר על פי נקודה שעליו ושיפוע נתון על פי שתי נקודות; חיתוך והקבלה של ישרים ניצבות הישרים שטחים: חישובי שטחים המורכבים ממלבנים, משולשים וטרפזים מעגל: משוואה קנונית ומשוואת מעגל כללי (x-a)2 + (y-b)2=R2, חיתוך של מעגל וישר, משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (כתנאי ניצבות); חיתוך של שני מעגלים, מעגל המשיק לאחד או שני הצירים ג. אי ודאות הסתברות קלאסית אקראיות מרחב הסתברות סופי חוקי ההסתברות הסתברות של מאורע משלים הסתברות של איחוד מאורעות הסתברות של חיתוך מאורעות (עד שלושה מאורעות בלתי תלויים זה בזה או עד שני מאורעות שקיימת ביניהם תלות) חישובים באמצעות טבלה, דיאגרמת עץ או דיאגרמה אחרת מאורעות בלתי תלויים, מאורעות תלויים הסתברות מותנית נוסחת בייס מרחב דו שלבי ותלת שלבי התפלגות בינומית )נוסחת ברנולי) הסתברות של מאורע משלים הסתברות של איחוד מאורעות הסתברות של חיתוך מאורעות (עד שלושה מאורעות בלתי תלויים זה בזה או עד שני מאורעות שקיימת ביניהם תלות) חישובים באמצעות טבלה, דיאגרמת עץ או דיאגרמה אחרת ד. גיאומטרייה אוקלידית מצולעים: חישוב של שטחים והיקפים של מצולעים חפיפת משולשים על סמך ארבעת משפטי החפיפה משולשים ומרובעים: תכונותיהם, משפטים, הוכחותיהם ויישומם תיכונים, חוצי זוויות וגבהים משפט פיתגורס משפט תאלס, המשפט ההפוך לו והמשפטים הנובעים מהם דמיון משולשים ומצולעים מפגש התיכונים במשולש, חלוקה פנימית של קטע ביחס נתון. משפט חוצה זווית פנימית במשולש שלושת משפטי הדמיון של משולשים היחס במשולשים דומים בין היקפים, תיכונים, חוצי זווית, גבהים ורדיוסי מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים היחס בין שטחי משולשים דומים היחס בין היקפים והיחס בין שטחים במצולעים דומים קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית משפטים: הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים לו; הגובה ליתר הוא ממוצע גיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר; הניצב הוא ממוצע גיאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר. מעגל: קשתות, מיתרים, מרחקים ממרכז המעגל זוויות: היקפיות, מרכזיות ותכונותיהן משיקים למעגל שני מעגלים – נחתכים, משיקים מבפנים, משיקים מבחוץ מרובע חוסם מעגל ומרובע חסום במעגל דמיון משולשים במעגל מקומות גיאומטריים: האנך האמצעי וחוצה זווית כמקומות גיאומטריים, מפגש אנכים אמצעיים במשולש כמרכז מעגל חוסם, מפגש חוצי זוויות במשולש כמרכז מעגל חסום ה. טריגונומטרייה מחזוריות היקף המעגל ושטחו, אורך קשת ושטח גזרה, שיטות שונות למדידת זוויות מרכזיות במעגל – מעלות, רדיאנים או אורך קשת על מעגל יחידה הפונקציות סינוס, קוסינוס וטנגנס במעגל היחידה ותיאורן הגרפי הקשר של פונקציית טנגנס לשיפוע של ישר הכרת הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות, של זוויות משלימות לזווית ישרה ושל זוויות המשלימות לזווית שטוחה בעזרת שימוש במעגל היחידה מחזוריות הפונקציות הזוגיות או אי הזוגיות של הפונקציות הטריגונומטריות תיאור גרפי ופירושו )מחזור, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות מקסימום ומינימום, תחומי חיוביות שליליות, עלייה וירידה), ושל הזזות ומתיחות של פונקציות טריגונומטריות; פתרון משוואות בסיסיות תוך כדי הדגשת משמעות הפתרון במעגל היחידה פתרון כללי ופתרון בתחום נתון; שימוש בטכניקה אלגברית (כגון פירוק לגורמים tanα=tanβ ופתרון משוואה ריבועית) לפתרון משוואות טריגונומטריות זהויות טריגונומטריות פתרון משוואות טריגונומטריות מהסוגים הבאים: פתרון בעיות במישור: פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית; משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים ושימוש בהם להתרת משולש כלל ו. הנדסת המרחב יישומים במרחב הדורשים שימוש במשפטים בגיאומטרייה ובזהויות טריגונומטריות חישובים במרחב: זוויות, אורכי קטעים, שטחים (כמו מעטפת או שטח פנים) נפחים בגופים: תיבה (כולל קובייה), מנסרה משולשת ישרה, פירמידה ישרה שבסיסה מלבן או משולש ישר זווית או משולש חד זוויות שימוש בתכונות הגיאומטריות של הצורות והגופים השונים, בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות ז. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חשבון דיפרנציאלי משיק בנקודה שיפוע של גרף בנקודה הפונקציה הנגזרת מושג אינטואיטיבי של גבול חקירת הפונקציות: נקודות חיתוך עם הצירים, עלייה וירידה, זוגיות ואי זוגיות המשמעות האלגברית והגרפית שלf(x) – g(x) ,f(x) > g(x) הנגזרת של ((f(x) ± g(x))' , (cf(x))' קשר בין גרף הפונקציה לגרף פונקציית הנגזרת שליטה בחשבון דיפרנציאלי של הפונקציות הבאות: פונקציות פולינום, פונקציות רציונליות, פונקציית שורש ריבועי נגזרות של פונקציות טריגונומטריות, פונקציות מעריכיות, פונקציות חזקה (עם מעריך רציונלי) ופונקציות לוגריתמיות, כולל שילוב שלהן עם פונקציות פולינום ופונקציות רציונליות נגזרת של סכום, הפרש, מכפלה, מנה, פונקציה מורכבת (שני שלבים בלבד) של כל הפונקציות שימושי הנגזרת לפתרון בעיות שבהן יש צורך במציאת שיפוע משיק או מציאת משוואת משיק לגרף בנקודה שעל גרף הפונקציה לפתרון בעיות קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור בכל סוגי הפונקציות, כולל בעיות נפח, שטח פנים ומעטפת של גופים פשוטים: קובייה, תיבה, מנסרה ישרה שבסיסה משולש, גליל ישר וחרוט ישר, וכולל קיצון בקצה קטע סגור לחקירת פונקציה וסרטוט סקיצה של גרף הפונקציה החקירה תכלול: תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון מקומי ומוחלט התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה, אסימפטוטות מאונכות לציר בכל סוגי הפונקציות למעט פונקציות פולינום, אסימפטוטות מאונכות לציר y חשבון אינטגרלי אינטגרלים של פונקציות פולינום, פונקציות מנה שניתן להביא אותן לאחת הצורות הבאות: מושגים: אינטגרל לא מסוים פונקציה קדומה קבוע האינטגרציה אינטגרלים מיידיים אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע אינטגרל של פונקציה מורכבת רק כאשר הפונקציה הפנימית היא ליניארית חשבון אינטגרלי של פונקציות חזקה (עם מעריך רציונלי), פונקציות מעריכיות, ושל פונקציות אשר הקדומה שלהן היא לוגריתמית מציאת פונקציה על פי הנגזרת ונקודה על הפונקציה האינטגרל המסוים חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר x חישוב שטח בין גרפים של שתי פונקציות חישוב שטחים מורכבים לתוכן הדף להדפסה